sqrt{1 + 2 cot x (cot x + csc x)} का x के साप | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int \sqrt{1 + 2 \cot x (\cot x + \csc x)} \, dx$.सर्वसमिका $1 + \cot^2 x = \csc^2 x$ का उपयोग करते हुए,हम वर्गमूल के अंदर के व्यंजक को

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$2 \ln \sin \frac{x}{2} + c$

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(B) माना $I = \int \sqrt{1 + 2 \cot x (\cot x + \csc x)} \, dx$.सर्वसमिका $1 + \cot^2 x = \csc^2 x$ का उपयोग करते हुए,हम वर्गमूल के अंदर के व्यंजक को फिर से लिख सकते हैं:$1 + 2 \cot^2 x + 2 \cot x \csc x = \csc^2 x + \cot^2 x + 2 \cot x \csc x$.यह एक पूर्ण वर्ग है: $(\csc x + \cot x)^2$.अतः,$I = \int \sqrt{(\csc x + \cot x)^2} \, dx = \int (\csc x + \cot x) \, dx$.$\csc x$ का समाकलन $\ln|\csc x - \cot x|$ है और $\cot x$ का समाकलन $\ln|\sin x|$ है।वैकल्पिक रूप से,$\csc x + \cot x = \frac{1 + \cos x}{\sin x} = \frac{2 \cos^2(x/2)}{2 \sin(x/2) \cos(x/2)} = \cot(x/2)$.$\cot(x/2)$ का समाकलन $2 \ln|\sin(x/2)| + c$ होता है।

$\sqrt{1 + 2 \cot x (\cot x + \csc x)}$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन क्या है?

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